Sejam X ⊂ ℝ um conjunto de números reais, ƒ: X → ℝ uma função real cujo domínio é X e a ∈ X ' um ponto de acumulação do conjunto X. Negar que o número real L é limite de ƒ(x) quando x tende para a , equivale a dizer que:
I - ∀ ∈ > 0 ∃δ > 0; x ∈ X, 0 < | x — a| < 8 ⇒ |ƒ(x) — L| < ∈.
II - Existe um número ∈ > 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ > 0, pode-se sempre achar xδ ∈ X tal que 0 < |xδ — a| < δ e |ƒ(xδ) — L| ≥ ∈.
III - ∀∈ ≥ 0 ∃δ ≥ 0; x ∈ X, 0 ≤ |x — a| ≤ δ ⇒ |ƒ(x) — L| ≤ ∈.
IV - Existe um número ∈ ≥ 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ ≥ 0, pode-se sempre achar xδ ∈ X tal que 0 ≤ |xδ — a| ≤ δ e |ƒ(xδ) — L| ≤ ∈.
Pode-se concluir que:
